Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi

Subab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi

Kegiatan 3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian

Aturan Penjumlahan

Misalkan, ada n1 cara melakukan kegiatan 1, n2 cara melakukan kegiatan 2, ..., nk cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah n1+n2+n3+...+nk

Kapan digunakan aturan penjumlahan? Aturan penjumlahan dipakai jika:

• Ada beberapa kegiatan berbeda namun hanya satu yang dilakukan.
• Kita sedang membagi kasus (terkadang ketika membagi kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).

Contoh Soal

Sultan memiliki 3 mobil, 2 sepeda motor dan 4 sepeda. Berapa cara Sultan dapat ke kantor dengan kendaraannya?

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa Sultan hanya dapat menggunakan salah satu kendaraan (tidak dapat menggunakannya bersamaan). Jadi, dengan aturan penjumlahan banyak cara Sultan pergi ke kantor dengan kendarannya adalah 3 + 2 + 4 = 9 cara.

Aturan Perkalian

Misalkan, ada n1 cara melakukan kegiatan 1, n2 cara melakukan kegiatan 2, ..., nk cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah n1 × n2 × ... × nk

Kapan digunakan aturan perkalian? Aturan perkalian dipakai jika:

• Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
• Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.

Contoh Soal

Candra mempunyai 6 buah kaus, 5 buah kemeja dan 4 buah celana panjang. Tentukan banyaknya variasi pakaian yang dapat dipakai Candra?

Penyelesaian:

Candra dapat memakai kaus, kemeja, dan celana panjang secara bersamaan. Jadi, dengan aturan perkalian banyak variasi pakaian yang dapat dipakai Candra adalah 6 x 5 x 4 = 120 variasi

Kegiatan 3.1.2 Penyusunan dan Pengambilan

Apabila anda mempunyai empat kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D) kemudian diminta untuk mennyusun kartu Ace tersebut dua-dua maka tentu akan berbeda apabila diminta mengambil dua kartu dari empat kartu Ace tersebut.

Kegiatan 3.1.3 Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapanya

Contoh Soal

Berapa banyak cara menyusun 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D)?

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan dua kotak sebagai tempat pengaturan dua kartu Ace tersebut, misalnya 

Kotak (1) dapat diisi oleh 4 kartu Ace, yaitu A-C, A-S, A-H, A-D, sehingga pada kotak (1) ada 4 kemungkinan. Pada kotak (2) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), yaitu:

• Jika kotak (1) diisi A-C, maka pada kotak (2) dapat diisi A-S, A-H, A-D
• Jika kotak (1) diisi A-S, maka pada kotak (2) dapat diisi A-C, A-H, A-D
• Jika kotak (1) diisi A-H, maka pada kotak (2) dapat diisi A-C, A-S, A-D
• Jika kotak (1) diisi A-D, maka pada kotak (2) dapat diisi A-C, A-S, A-H

Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut:

Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan dan kotak (2) ada 3 kemungkinan.

Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 4.3 = 12. Perhatikan bahwa 

Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya

Contoh Soal

Berapa banyak cara pengambilan 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D)?

Penyelesaian

Banyak cara pengambilan 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D) sebanyak 6 yaitu, A-C A-S, A-C A-H, A-C A-D, A-S A-H, A-S A-D, A-H A-D. Hal ini sama halnya dengan menentukan banyaknya himpunan bagian dari {A-C, A-S, A-H, A-D} yang mempunyai 2 anggota, yaitu {A-C, A-S}, {A-C, A-H}, {A-C, A-D}, {A-S, A-H}, {A-S, A-D}, {A-H, A-D}.

Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa banyak cara mengambil 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D) merupakan contoh dari kombinasi 2 unsur dari 4 unsur, 2C4 atau C(4,2). Sedangkan banyak cara menyusun 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace (A-C, A-S, A-H, A-D) merupakan contoh dari permutasi 2 unsur dari 4 unsur, 2P4 atau P(4, 2).

Kalau Anda perhatikan bahwa banyak cara permutasi 2 unsur dari 4 unsur P(4, 2) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C(4, 2), yaitu {A-C, A-S}, {A-C, A-H}, {A-C, A-D}, {A-S, A-H}, {A-S, A-D}, {A-H, A-D}. Anda ketahui bahwa banyak susunan dari {A-C, A-S} sama dengan banyak permutasi 2 unsur yaitu P(2, 2), demikian juga banyak susunan untuk {A-C, A-H}, {A-C, A-D}, {A-S, A-H}, {A-S, A-D}, {A-H, A-D} sama dengan P(2, 2). Jadi banyak banyak cara permutasi 2 unsur dari 4 unsur P(4, 2) sama dengan banyak cara kombinasi 2 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 2 unsur P(2, 2) atau P(4, 2) = C(4,2) P(2, 2). Sehingga diperoleh 

Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya

Contoh Soal

Tentukan banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C.

Penyelesaian

Masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C ke dalam 6 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan 6 tempat ini dapat diilustrasikan sebagai 6 kotak berikut.

Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.

• Pertama letakkan 3 huruf A ke dalam 6 kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(6, 3).
• Berikutnya, karena 3 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf B ke dalam 3 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(3, 2).
• Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1, 1).

Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C adalah C(6, 3) ∙ C(3, 2) ∙ C(1, 1) =

Kegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapannya

Contoh Soal

Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C.

Penyelesaian

Salah satu susunan permutasi siklis adalah A, B, C (A unsur paling atas/depan).

yang ekuivalen dengan B, C , A (B unsur paling atas/depan)

dan juga ekuivalen dengan C, A, B (C unsur paling atas/depan)

Akan tetapi ketiga permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda, yaitu

A, B, C

B, C, A

C, A, B

Demikian juga untuk ketiga susunan berikut adalah sama, tetapi kalau dinyatakan dalam permutasi mendatar menjadi berbeda, yaitu

A, C, B

B, A, C

C, B, A

Ini berarti 1 susunan permutasi siklis berkorespondensi dengan 3 susunan permutasi mendatar. Jadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari 3 unsur A, B, C adalah 3! = 6 cara, sedangkan setiap 3 susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 3 unsur adalah